Элементы теории упругости

Под воздействием внешних сил всякое твердое тело изменяет свою форму – деформируется. Деформация, исчезающая с прекращением действия сил, называется упругой.

При упругой деформации тела возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму. Величина этих сил пропорциональна деформации тела.

Деформация сжатия и растяжения

Возникающее удлинение образца (Δl) под действием внешней силы (F) пропорционально величине действующей силы, первоначальной длине (l) и обратно пропорционально площади поперечного сечения (S) – закон Гука:

1)

где

• 1/E — коэффициент пропорциональности.

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и характеризует упругие свойства материала. Величина F/S = p называется напряжением.

Деформация стержней любых длин и сечений (образцов) характеризуется величиной, называемой относительной продольной деформацией, ε = Δl/l.

Закон Гука для образцов любых форм:

2)

Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образцов в два раза. Однако разрыв образца наступает при значительно меньших напряжениях. На фиг.1 графически изображена экспериментальная зависимость p от ε, где p_макс – предел прочности, т.е. напряжение, при котором на стержне получается местное сужение (шейка), p_тек – предел текучести, т.е. напряжение, при котором появляется текучесть (т.е. увеличение деформации без увеличения деформирующей силы), p_упр – предел упругости, т.е. напряжение, ниже которого справедлив закон Гука (имеется в виду кратковременное действие силы).

Материалы разделяются на хрупкие и пластичные. Хрупкие вещества разрушаются при очень малых относительных удлинениях. Хрупкие материалы обычно выдерживают, не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение.

Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd – изменение диаметра образца, то ε₁ = Δd/d принято называть относительной поперечной деформацией. Опыт показывает, что |ε₁/ε|

Абсолютная величина μ = |ε₁/ε| носит название коэффициент поперечной деформации или коэффициента Пуассона.

Деформация сдвига

Сдвигом называют деформацию, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга. При сдвиге объем деформируемого образца не меняется. Отрезок АА₁ (фиг.2), на который сместилась одна плоскость относительно другой, называют абсолютным сдвигом. При малых углах сдвига угол α ≈ tg α = АА₁/AD характеризует относительную деформацию и его называют относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвига может быть записан в виде

3)

где коэффициент G называется модуль сдвига.

Сжимаемость вещества

Всестороннее сжатие тела приводит к уменьшению объема тела на ΔV и возникновению упругих сил, стремящихся вернуть телу первоначальный объем. Сжимаемостью (β) называется величина, численно равная относительному изменению объема тела ΔV/V при изменении действующего по нормали к поверхности напряжения (p) на единицу.

Величина, обратная сжимаемости, носит название модуля объемной упругости (K).

Изменение объема тела ΔV при всестороннем увеличении давления на ΔP вычисляется по формуле

4)

где

• V — первоначальный объем тела.

Соотношения между упругими постоянными

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемной упругости и модуль сдвига связаны между собой уравнениями:

которые по двум известным упругим характеристикам позволяют, в первом приближении, рассчитать остальные.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

5)

где

• F — сила упругости;
• Δl — величина деформации.

Единицы измерения модулей упругости: Н/м² (СИ), дин/см² (СГС), кгс/м² (МКГСС) и кгс/мм².

1 кгс/мм² = 9,8·10⁶ Н/м² = 9,8·10⁷ дин/см² = 10^-6 кгс/м²

Приложения

Литература